Neste artigo, vamos analisar dois modelos utlizados para a previsão da procura: o Modelo Aditivo e o modelo Multiplicativo.

O modelo aditivo

Uma solução para melhorar a eficácia da previsão de vendas, será decompor os diversos efeitos em forma de adição, numa expressão do tipo: y=base+tendência*mês+sazonalidade, em que:

• Base indica o volume de vendas mínimo que existe em qualquer mês. Este é um valor teórico que serve para nivelar a regressão,
• Tendência é a taxa de crescimento de longo prazo,
• Sazonalidade é o fator que determina que nalguns meses do ano se venda mais ou menos do que noutros.

A diferença entre o resultado desta expressão e os valores reais é um erro. Esse erro é o fator que não se consegue explicar pela regressão.

No Excel, antes de partirmos para a definição dos parâmetros, teremos de escrever a expressão acima usando valores iniciais de teste. Por exemplo, definimos 100 para a base, 1 para a tendência e zero para a sazonalidade em todos os meses. Como o número do mês varia entre 1 e 12 podemos apoiar-nos numa fórmula VLOOKUP. A fórmula para o primeiro mês será assim, por exemplo: =Base+Tendência*B4+VLOOKUP(D4;$I$6:$J$17;2;0)

Em que Base e Tendência fazem jus aos nomes, B4 é o número do mês, de 1 a 67, e a fórmula VLOOKUP procura o fator sazonalidade.

Como determinar estes parâmetros? O Excel tem um suplemento - Solver - que nos pode dar uma ajuda com esta questão. Repare-se que temos um problema com uma formulação matemática e com um objetivo a atingir.

O objetivo será a minimização da soma do quadrado dos erros. À célula que tem esta soma, daremos o nome de SSE.

E que restrições devemos considerar? Tendo em conta que os parâmetros base e tendência podem ser quaisquer valores (se necessário, podemos definir intervalos de variação que os contenham dentro de um intervalo razoável), a única restrição prende-se com a sazonalidade.

A sazonalidade caracteriza-se por um aumento das vendas nalguns meses do ano que é compensado por uma quebra noutros meses, o que é o mesmo que dizer que nos meses em alta adicionamos um número positivo e nos meses em baixa adicionamos um valor negativo à nossa expressão. A soma dos ponderadores de sazonalidade dos 12 meses do ano deverá ser igual a zero.

E é essa precisamente a restrição do problema. Os parâmetros do Solver ficam então:

Duas observações importantes sobre a resolução deste problema:

1. As células que contêm as variáveis de decisão, ou seja, os parâmetros da regressão podem assumir valores negativos. Não só porque a tendência pode ser negativa, por exemplo, como também porque nas células, com os fatores de sazonalidade, teremos certamente meses de baixas vendas,
2. O problema é do tipo não-linear, porque a célula objetivo contém uma expressão matemática que resulta do cálculo de uma potência. Por isso, temos que escolher o método GRG Nonlinear.

Além destas questões, será também importante definir como opções do método GRG Nonlinear a utilização de Multistart, para que o Solver procure diversos pontos de partida para a resolução do problema, permitindo assim descobrir uma solução o mais próxima possível da solução ótima.

Após alguns minutos, chegámos à seguinte solução:

• Base: 124,11
• Tendência: 0,22
• Sazonalidade (de 1 a 12):
  • -13,10 
  • -21,50
  • 4,91
  • -1,42
  • 3,96
  • 12,39
  • 21,29
  • 14,75
  • -9,14
  • 0,94
  • -9,34
  • -3,74

Os meses de verão parecem ser os mais fortes, enquanto Janeiro e Fevereiro, os mais fracos. A nossa regressão resulta então no seguinte: y=124,11+0,22*mês+sazonalidade.

Como é óbvio, o erro não é incluído na expressão, mas podemos calculá-lo. Na folha de cálculo que utilizei, cheguei ao valor de 197,18 para a soma dos quadrados dos desvios.

Vamos comparar os valores reais com os valores calculados a partir da regressão e ver até que ponto a nossa solução funcionou bem:

A linha de previsão está praticamente sobreposta na linha dos valores reais observados. Para completarmos a análise da eficácia deste modelo de previsão, vamos calcular os seguintes indicadores:

• Coeficiente de determinação R2, a partir da fórmula RSQ, entre os valores reais e previstos. O resultado é de 98,3%,
• O desvio-padrão dos erros, usando a fórmula STDEV.P, que devolve o valor de 1,72. Podemos esperar que em 68% dos meses, o desvio da nossa previsão não exceda os 3,44 mil litros.

O modelo multiplicativo

Outra opção para prever a procura de gasolina desta empresa seria o modelo multiplicativo. A mecânica é em tudo idêntica à do modelo aditivo, mas a expressão será: y=base*tendência^mês*sazonalidade. Neste modelo, os parâmetros têm o mesmo significado, mas os valores serão obviamente diferentes.

Vamos construir uma tabela idêntica à anterior, que será algo parecido com:

A expressão para a coluna do cálculo da previsão será, por exemplo, para o primeiro mês em análise: =Base2*Tendência2^B4*VLOOKUP(D4;$J$6:$K$17;2;0). O erro será calculado pela diferença entre a previsão e o valor real e para chegarmos à soma do quadrado dos erros, teremos de criar uma coluna com o erro ao quadrado.

Ativamos novamente os parâmetros do Solver para resolver um problema não-linear com o objetivo de minimizar a soma dos quadrados dos erros e sujeito à restrição de a média dos fatores de sazonalidade mensal ser igual a 1, porque neste modelo, multiplicamos os fatores de sazonalidade na fórmula de previsão.

Mais uma vez, vamos usar o método GRG Nonlinear, ativar a opção Multistart e fixar intervalos razoáveis para as variáveis de decisão, de modo a facilitar a procura de uma solução ótima:

Com estes parâmetros minimizamos a soma dos quadrados dos erros em 220,37. O coeficiente de determinação é de 98,1% e o desvio-padrão dos erros é de 1,81.

Em conclusão, como estes valores são de qualidade ligeiramente inferior aos obtidos com o modelo aditivo, talvez aquele fosse a melhor opção.